UNIVERSO OLOFRATTALE
“La
filosofia naturale è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci
sta aperto innanzi agli occhi, io dico l’universo, ma non si può intendere se
prima non s’impara a intender la lingua e conoscer i caratteri nei quali è
scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli,
cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a
intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un
oscuro labirinto.” Il Saggiatore, Galileo Galilei (1564-1642)
Quando Due anni fa iniziai lo studio della “Geometria Sacra” intuivo l’estrema importanza di questa materia ma non riuscivo a comprendere il legame fra i vari concetti matematici e geometrici che contenuti in essa, sembrava non esistesse un filo conduttore fra i vari argomenti.
La
geometria dei frattali è riuscita a dare coerenza a questo mio intero percorso
di studio, i Frattali sono la summa dei principi della geometria sacra,
contengono nella loro meccanica il set principale di leggi naturali che
regolano la creazione di un microcosmo come di un macrocosmo, essi sono il modo
in cui l’Intelligenza Universale, il Logos, manifesta la sua Creazione nella
Realtà che percepiamo.
Per
il loro sviluppo i frattali seguono le leggi note come la Sequenza
di Fibonacci,
La spirale
Logaritmica, il
Rapporto
Aureo Phi
1,618, Il
Phi Greco π, le Radici Quadrate di due tre e cinque, i concetti di Zero ed Infinito, la
geometria dei Solidi Platonici e la Multi-dimensionalità in scale
differenti.
I
Frattali implicano l’auto-similarità, strutture di questo tipo possono essere
ripetute più volte creando forme apparentemente diverse fra loro ma simili nel
loro intimo, i frattali sono un modello valido comunque ed ovunque. I frattali
sono la geometria più efficiente per poter contenere un numero teoricamente
infinito di spazio lineare in un’area finita, è così che la natura riesce a
fare contenere 96000
metri di vene e arterie in un corpo umano.
La
teoria dei frattali riesce a trovare l’Ordine implicito nell’apparente
Caos dei modelli naturali, essa riesce a spiegare come una foglia contenga
nella sua struttura l’immagine dell’albero a cui appartiene o l’esatta
direzione con cui un fulmine si propagherà nell’atmosfera.
Video su Scarabeokheper.altervista.org
Un
buon modo per cominciare a comprendere i concetti che intendo esporre in questo
testo consiste nel visionare questa magnifica video-intervista a Benoit
Mandelbrot Video: I
Frattali e la Matematica di Benoit Mandelbrot, dove Mandelbrot in persona
racconta la la sua esperienza di ricercatore dedicata allo studio della
matematica e della geometria culminata con la scoperta della Geometria Dei
Frattali e le applicazioni di tale teoria in molti campi della ricerca,
dall’elettronica alla medicina.
BIOGRAFIA MANDELBROT
Benoît
Mandelbrot (Varsavia, 20 novembre 1924–Cambridge, 14 ottobre 2010) è stato un
matematico polacco naturalizzato francese, noto per i suoi lavori sulla
geometria frattale. Nato in Polonia da una famiglia ebrea di origini lituane,
ha vissuto in Francia per buona parte della sua vita. È nato in una famiglia
con forte tradizione accademica: sua madre era laureata in medicina, e suo zio
Szolem Mandelbrot era un famoso matematico specialista in analisi matematica;
suo padre si occupava della vendita di abiti.
Nel 1936 la famiglia lasciò la Polonia, stabilendosi a Parigi. A Parigi fu iniziato alla matematica dai suoi due zii, che contribuirono alla sua educazione e formazione, sia scientifica che umanistica. Nel 1939, a causa dello scoppio della guerra, si trasferì con la famiglia a Tulle, un paesino della Francia centrale, dove si diplomò nel 1942.
Educato
in Francia, ha sviluppato la matematica di Gaston Julia e ha dato inizio alla
rappresentazione grafica di equazioni su computer. Mandelbrot è il fondatore di
ciò che oggi viene chiamata geometria frattale, e ha dato il proprio nome a una
famiglia di frattali (detti appunto frattali di Mandelbrot) e a un particolare
insieme (detto insieme di Mandelbrot).
A
partire dai primi anni sessanta, e fino ai giorni nostri, l’applicazione della
geometria frattale a questioni economiche ha condotto Mandelbrot a mettere in
discussione alcuni consolidati fondamenti dell’economia classica e della
finanza moderna, quali l’ipotesi di razionalità dei comportamenti degli agenti
economici, l’ipotesi dell’efficienza del mercato, e quella secondo cui i
movimenti dei prezzi di mercato sono descrivibili come un cammino casuale
(random Walk) in analogia al moto browniano di una particella in un fluido.
Mandelbrot
scoprì il suo frattale quasi per caso nel 1979, mentre conduceva degli
esperimenti per conto del Thomas J. Watson Research Center dell’IBM, dove, con
l’aiuto
della
computer grafica, poté in seguito dimostrare che il lavoro di Julia del 1918 (e
che suo zio gli aveva consigliato nel 1945), poteva essere uno dei frattali più
affascinanti; una delle numerose curiosità del frattale di Mandelbrot è che esso
comprende, pur nella sua semplicissima formula, anche il frattale di
Julia.
I suoi lavori sui frattali in quanto matematico impiegato all’IBM gli hanno fruttato una “Emeritus Fellowship” ai laboratori di ricerca T. J. Watson.
L’analisi
frattale delle variabili economiche e finanziarie ha portato nell’ultima decade
alla nascita della cosiddetta finanza frattale, nella quale lo stesso
Mandelbrot ritiene siano attualmente impegnati almeno un centinaio di
ricercatori. Altri ricercatori sono impegnati nel più vasto campo
dell’econofisica.
Oltre
alla riscoperta dei frattali in matematica, dimostrò che essi possono essere la
chiave di lettura delle forme presenti in natura, dando il via a una
particolare sezione della matematica che studia la teoria del caos. Nel 1993
gli è stato conferito il prestigioso Premio Wolf per la Fisica, “per aver
trasformato la nostra visione della natura”. Il 19 marzo 2007 ha tenuto una “Lectio
Magistralis” dal titolo “Il liscio, il ruvido e il meraviglioso” durante il
Festival della Matematica a Roma.
Numerose
università del mondo gli hanno conferito la laurea honoris causa; in Italia
l’Università degli studi di Bari gliene ha conferita una in Medicina e
Chirurgia il 13 novembre 2007 con la seguente motivazione: “La visione
altamente unificante del fenomeno della vita che ci offre il professor
Mandelbrot, si riflette in campo medico con un approccio unitario, prima
sconosciuto, alla malattia e alla persona malata”. In occasione del
conferimento della laurea, il prof. Mandelbrot ha tenuto una lectio magistralis
intitolata “Fractals in Anatomy and Physiology”, nella quale fra l’altro
affermava:« Il concetto di base che unisce lo studio dei frattali alle
discipline come la biologia e quindi anatomia e fisiologia parte dalla
convinzione di un necessario superamento della geometria euclidea nella
descrizione della realtà naturale. Volendo essere molto sintetici, i frattali
servono a trovare una nuova rappresentazione che parta dall’idea di base che
il piccolo in natura non è nient’altro che una copia del grande. La mia
convinzione è che i frattali saranno presto impiegati nella comprensione dei
processi neurali, la mente umana sarà la loro nuova frontiera. » Mandelbrot
muore il 14 ottobre 2010, all’età di 85 anni, a causa di un cancro del pancreas
I FRATTALI
Per
poter comprendere i concetti di “Frattale” e di “Attrattore” è necessario che
prima di continuare nella lettura guardiate con attenzione questo video, dove
Mandelbrot e Lorenz parlano in prima persona delle loro scoperte: Frattali documentario –
YouTube.
DEFINIZIONE DI FRATTALE
“La
geometria euclidea è incapace di descrivere la natura nella sua complessità, in
quanto si limita a descrivere tutto ciò che è regolare. Tutti gli oggetti che
hanno una forma perfettamente sferica, oppure… mentre osservando la natura
vediamo che le montagne non sono dei coni, le nuvole non sono delle sfere, le
coste non sono dei cerchi, ma sono oggetti geometricamente molto complessi.”
(da Les objects fractals 1975”)
I frattali sono delle speciali figure geometriche che presentano in maniera ripetitiva e dettagliata, ad ogni livello di ingrandimento, una struttura auto-similare (per cui ogni porzione del frattale è una riproduzione – analoga, non identica – su scala ridotta dell’intera figura). Il termine frattale è stato coniato nel 1975 dal matematico Benoit Mandelbrot (derivandolo dal latino “fractus” – frazionario) ma in effetti già dalla fine dell’800 i matematici avevano incontrato alcune figure dalle proprietà anomale che avevano definito “mostri matematici”, una tra le più famose è la Curva di Koch che trasformando ognuno dei suoi 3 segmenti iniziali in 4 sotto-segmenti e ripetendo indefinitamente il processo, da origine ad una figura che pur essendo delimitata in uno spazio finito possiede una lunghezza infinita.
Una
delle “strane” peculiarità di un frattale è che non può mai essere disegnato
completamente, e infatti ciò che vediamo di esso è solo un’iterazione
finita (l’iterazione è la ripetizione del calcolo della formula che
definisce il frattale), mentre per loro stessa concezione i frattali sono
strutture complesse e non finite, ad ogni ingrandimento rivelano dettagli
precisi, sempre nuovi, che solo il calcolo mediante il computer ha permesso di
rappresentare graficamente. Nei frattali esiste dunque la possibilità di
iterare virtualmente all’infinito ciascun punto della figura prima di passare
al successivo, ed è proprio per questo che la dimensione occupata nello spazio
dai frattali non è una dimensione finita (come nel caso delle figure
elementari della geometria: D1=linea, D2=quadrato, D3=cubo), bensì una dimensione
frazionaria, concetto questo che mette a dura prova la capacità di
immaginazione.
In
generale un frattale è un insieme che gode di una o più proprietà seguenti:
Auto-somiglianza: è l’unione di copie di se stesso a scale differenti;
Struttura fine: il dettaglio dell’immagine non cambia ad ogni ingrandimento;
Irregolarità:
non si può descrivere come luogo di punti che soddisfano semplici condizioni
geometriche o analitiche; la funzione è ricorsiva ed irregolare localmente e
globalmente;
Dimensione Frattale: sebbene possa essere rappresentato in uno spazio
convenzionale a due o tre dimensioni, la sua dimensione non è
necessariamente un intero; può essere una frazione, ma spesso anche
un numero irrazionale. E di solito maggiore della dimensione topologica.
La
dimensione frattale è quindi il numero che misura il grado di irregolarità e di
interruzione di un oggetto, considerato in qualsiasi scala.
Da
quando Mandelbrot ha introdotto la geometria frattale, è nato un nuovo
linguaggio di descrizione delle forme complesse della natura: essi richiedono
algoritmi, semplici funzioni ricorsive, che, iterate un gran numero di volte,
forniscono un’immagine.
AMBITO DI APPLICAZIONE DEI FRATTALI
Negli
anni ’80 con tale nuova geometria si sono trovati frattali in ogni ambito:
dalla natura, alla medicina, alla musica e si è sviluppata una branca della
geometria frattale che studia i cosiddetti frattali biomorfi (studia le forme
della natura come il corallo etc.); inoltre si parla anche di frattali con
condensing, che utilizzano le trasformazioni geometriche del piano, i metodi
IFS ed L-System. I frattali sono usati da fisici e ingegneri nello studio dei
sistemi dinamici, per costruire modelli che descrivono il moto dei fluidi
turbolenti ed i fenomeni di combustione; ma secondo gli autori sono importanti
anche per le dimensioni extra e per la descrizione della gravità. Inoltre i
frattali trovano applicazione nella compressione delle immagini trasmesse e dei
film virtuali, nella distribuzione degli errori su certe linee telefoniche,
nello studio dei terremoti, degli uragani, del DNA, del cuore, dei vasi
sanguigni, del moto ondoso degli oceani, la riproduzione di mezzi porosi, lo
studio degli idrocarburi e della Natura in generale: coste geografiche, corso
dei fiumi etc.
STORIA DEI FRATTALI
In
questo Testo trovate un’ottima analisi dei frattali classici come la Curva di
Koch , il triangolo di Sierpinski , la polvere frattale di Cantor , La curva di
Peano e la curva di Hilbert .
PDF:
frattali
e sezione aurea.
ATTRATTORI
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